直線の傾きと切片の計算方法

直線の傾きは、その直線がどの程度急であるかを表す。 直線の傾きを求めること、または傾きを使って直線上の点を見つけることは、経済学、地球科学、会計/財務、その他の分野で使われる重要なスキルである。

方法1

グラフを使って傾きを求める

1. 直線上の2点を選ぶ。これらの点を表す点をグラフに描き、その座標を記録する。

   • 点をグラフにするときは、x 座標を最初に書き、次に y 座標を書くことを忘れない。
   • 例えば、点(-3, -2)と(5, 4)を選ぶ。
2. 2点間の上昇を決定する。そのためには、2点のyの差を比較しなければならない。最初の点（グラフで一番左にある点）から始めて、2番目の点のy座標に達するまで数える。

   • つまり、上か下かを数えて求めることができる。 線が右上がりに動いている場合、上昇は正である。線が下降して右へ動いていれば、上昇は負である。
   • 例えば、最初の点のy座標が(-2)で、2番目の点のy座標が(4)であれば、6点カウントアップするので、上昇は6である。
3. 2点間の距離を求める。そのためには、2点のxの差を比較しなければならない。最初の点（グラフ上で最も左にある点）から始めて、2番目の点のx座標に達するまで数える。

   • つまり、左から右へ数えるだけで、右から左へ数えることはできない。
   • 例えば、最初の点のx座標が(-3)で、2番目の点のx座標が(5)の場合、8以上数えることになるので、走りは8となる。
4. 傾きを決定するために、run上の上昇を使用して比率を作成します。傾きは通常分数の形であるが、整数にすることもできる。

   • 例えば、rise が 6 で run が 8 なら、傾きは 68{displaystyle {frac {6}{8}} であり、これは単純化して 34{displaystyle {frac {3}{4}}} となる。｝

方法2

与えられた2点を使って傾きを求める

1. m=y2-y1x2-x1{displaystyle m={frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}} の式を設定する。式中、m = 傾き、(x1,y1){φdisplaystyle (x_{1},y_{1})} = 最初の点の座標、(x2,y2){φdisplaystyle (x_{2},y_{2})} = 2番目の点の座標。

   • 傾きはriserun{displaystyle {frac {rise}{run}}に等しいことを覚えておいてください。｝この式を使って、x の変化（run）に対する y の変化（rise）を求めます。
2. x 座標と y 座標を式に差し込みます。最初の点（(x1,y1){displaystyle (x_{1},y_{1})}）と2番目の点（(x2,y2){displaystyle (x_{2},y_{2})}）の座標を式の正しい位置に置くことを確認する。

   • 例えば、点(-3, -2)と(5, 4)が与えられると、式は次のようになる: m=4-(-2)5-(-3){displaystyle m={{frac {4-(-2)}{5-(-3)}}}.
3. 計算を完了し、可能であれば単純化する。これで勾配が分数または整数として得られる。

   • 例えば、傾きがm=4-(-2)5-(-3){displaystyle m={frac {4-(-2)}{5-(-3)}}} の場合、分子に4-(-2)=6{displaystyle 4-(-2)=6} (負の数を引くときは足すことを覚えよう)、分母に5-(-3)=8{displaystyle 5-(-3)=8} と計算する。68{displaystyle {frac {6}{8}}を34{displaystyle {frac {3}{4}}に単純化できるので、m=34{displaystyle m={frac {3}{4}}となる。｝

方法3

勾配と1点が与えられたときのy切片の求め方

1. y=mx+b{displaystyle y=mx+b}の式を設定する。式中、y＝直線上の任意の点のy座標、m＝傾き、x＝直線上の任意の点のx座標、b＝y切片である。

   • y=mx+b{displaystyle y=mx+b}は直線の方程式である。
   • y切片は、線がy軸と交差する点である。
   ヒント

   サンフランシスコ市立大学数学講師

   グレース・イムソンは40年以上の指導経験を持つ数学教師である。以前はセントルイス大学の数学科に在籍。小学校、中学校、高校、大学で数学を教えてきた。セントルイス大学で教育学修士号（専門は管理・監督）を取得。

   
   サンフランシスコ・シティカレッジ数学講師

   専門家の意見傾きと1点がわかっているなら、それらを直線の方程式に差し込みます。y = mx + bの場合、mは傾きで、点の座標にはxとyの両方が含まれる。
2. 傾きと直線の1点の座標を入れる。勾配は走行距離の上昇に等しいことを覚えておく。傾きを求めるのに助けが必要な場合は、上の説明を参照してください。

   • 例えば、傾きが34{displaystyle {frac {3}{4}}で、線上の点が(5,4)であれば、式は次のようになる：4=34(5)+b{displaystyle 4={frac {3}{4}}(5)+b}} となる。
3. まず、傾きとx座標を掛ける。この数を両辺から引いてbを解く。

   • 例題では式は4=334+b{displaystyle 4=3{frac{3}{4}}+b}}となる。両辺から334{displaystyle 3{frac {3}{4}}を引くと、14=b{displaystyle {frac {1}{4}}=b}}となる。だからy切片は14{displaystyle {frac {1}{4}}である。｝
4. 自分の仕事をチェックしよう。座標グラフに、既知の点をプロットし、傾きを使って線を引きます。y 切片を求めるには、線が y 軸を横切る点を探します。

   • 例えば、傾きが34{displaystyle {frac {3}{4}}で、1点が(5,4)であれば、(5,4)に点を引き、線に沿って左へ4、下へ3と数えて他の点を引く。点を通る線を引くと、線が座標(0,0)のすぐ上でy軸を横切るのが見えるはずである。

方法4

傾きとY切片からx切片を求める

1. y=mx+b{displaystyle y=mx+b}という式を設定する。式中、y = 直線上の任意の点のy座標、m = 傾き、x = 直線上の任意の点のx座標、b = y切片である。

   • y=mx+b{displaystyle y=mx+b}は直線の方程式である。
   • x切片は、線がx軸と交差する点である。
2. 傾きとy切片を式に差し込みます。勾配は、走行の上昇に等しいことを忘れないでください。傾きを求めるのに助けが必要な場合は、上の説明を参照してください。

   • 例えば、傾きが 34{displaystyle {frac {3}{4}}、y 切片が 14{displaystyle {frac {1}{4}}の場合、式は次のようになる： y=34x+14{displaystyle y={frac {3}{4}}x+{frac {1}{4}}。
3. yを0に設定する。 あなたはx切片、つまり線がx軸を横切る点を探している。この点で、y座標は0になる。そこでyを0に設定し、対応するx座標を解けば、x切片となる点(x, 0)が求まる。

   • 例題では、方程式は 0=34x+14{displaystyle 0={frac {3}{4}}x+{frac {1}{4}}} となる。
4. まず両辺から y 切片を引く。次に両辺を傾きで割る。

   • 例題では、方程式は -14=34x{displaystyle {frac {-1}{4}}={frac {3}{4}}x} となる。両辺を 34{displaystyle {frac {3}{4}}} で割ると、-412=x{displaystyle {frac {-4}{12}}=x} となる。これは -13=x{displaystyle {frac {-1}{3}}=x} に単純化される。つまり、線がx軸と交差する点は(-13,0){displaystyle ({frac {-1}{3}},0)}である。だからx切片は-13{displaystyle {frac {-1}{3}}である。｝
5. 自分の仕事をチェックしよう。座標グラフに y 切片をプロットし、傾きを使って線を引きます。x 切片を求めるには、線が x 軸を横切る点を探します。

   • 例えば、傾きが34{displaystyle {frac {3}{4}}で、y切片が(0,14){displaystyle (0,{frac {1}{4}}}の場合、(0,14){displaystyle (0,{frac {1}{4}}}に点を描き、線に沿って左に4、下に3、右に3、上に4数えて他の点を描く。点を通る線を引くと、線が (0,0) 座標のすぐ左で x 軸を横切るのが見えるはずです。
6. 最終イメージ

電卓、練習問題、解答

この記事は、CC BY-NC-SAで公開されている「 直線の傾きと切片の計算方法 」を改変して作成しました。特に断りのない限り、CC BY-NC-SAで利用可能です。