完全数

DiaFez	フェズ(Fez)
	というわけで、今日は完全数について！

28 {\displaystyle 28}

1 , 2 , 4 , 7 , 14 {\displaystyle 1,2,4,7,14} {\displaystyle 1,2,4,7,14}

1 + 2 + 4 + 7 + 14 {\displaystyle 1+2+4+7+14}

1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 {\displaystyle 1+2+4+7+14=28} {\displaystyle 1+2+4+7+14=28}

Fannel ビルド２８話の数式だね。

DiaFez	フェズ(Fez)
	完全数とは、このように自身以外の全ての約数を足すと自身に戻る性質を持つ自然数の事を言います。

	フェズ(Fez)
	中でも６と２８は初期に発見されたから、当時は何故完全数なのか考えたという話もあるそうよ。４９６と８１２８はその後で発見されたとかなんとか。

DiaFez.png	フェズ(Fez)
	そんな中ユークリッド氏が見つけたのは、 構文解析に失敗 (構文エラー): {\displaystyle 2^n − 1} が素数の時 構文解析に失敗 (構文エラー): {\displaystyle 2^{n − 1}(2^n − 1)} が完全数になる、という事だったの。

Fannel 構文解析に失敗 (構文エラー): {\displaystyle 2^n − 1}はメルセンヌ数だから M p {\displaystyle M_{p}} {\displaystyle M_{p}}って表せるんだ。これが素数となると・・・メルセンヌ素数か。

	フェズ(Fez)
	で、当時はこの式以外で偶数の完全数は作れるのか、という議論があったんだけどね・・・

DiaZZUnknown.png

Fannel オイラーが『その式以外で偶数の完全数はできない』って証明をしたんだっけ。

	フェズ(Fez)
	そういうこと。

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x=A^a B^b C^c \\ S(x)=\frac{A^{a+1}-1}{A-1} \frac{B^{b+1}-1}{B-1} \frac{C^{c+1}-1}{C-1} }

DiaZZUnknown.png

Fannel 例えるなら・・・これを、

構文解析に失敗 (構文エラー): {\displaystyle S(2^{n-1} (2^n-1))=\frac{2^n-1}{2-1} \frac{(2^n-1)^2-1}{(2^n -1)-1}\\ =\frac{(2^n-1) (2^{2n}-2\cdot 2^n+1-1)}{2^n-2}\\ =\frac{(2^n-1) 2^n (2^n-2)}{2^n-2}=2^n(2^n-1)=2\cdot 2^{n-1} (2^n-1) }

Fannel こうする。最後に出てくるのは自身を含んだ約数の和なんだ。

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