マジックスクエアの算数パズルを解く3つの方法

数独やケンケンのような数学パズルやロジックパズルがお好きなら、マジックスクエアを解いてみるのはいかがでしょう。マジックスクエアは、タテ、ヨコ、斜めに並んだ数字の合計が同じになるマスです。解き方はパズルの大きさによって異なりますが、それぞれ簡単な解き方が載っています。奇数または偶数のマジックマスを完成させるための解き方を順を追って説明します。

知っておきたいこと

• マジックスクエアは、各行、列、対角線の合計が同じになる正方形のマスです。
• S = n [ ( n 2 + 1 ) / 2 ] {displaystyle S=n[(n^{2}+1)/2]} ここで、nは各行のマスの数である。
• マジックスクエアの大きさと、各行または列のマスの数に基づいた解き方をしよう。

マジックスクエアとは？

1. マジックスクエアは、行、列、対角線の合計が同じになるマスです。マジックスクエアの数字は、それぞれマスに入ります。行または列の数で順番が決まるので、「順番3」のマジック・スクエアは、3×3のマス目のものです。ある列の数字を足すと、その値は「マジック定数」と呼ばれ、他の列、行、対角線はすべてその数字になる。

   • 通常のマジック・スクエアは、1からn 2 {displaystyle n^{2}}（nは次数に等しい）までの数字が連続している。通常のオーダー3のマジック・マスで、マジック定数が15であれば、次のようになる：
     8 - 1 - 6
     3 - 5 - 7
     4 - 9 - 2
   • 非正規魔法の正方形では、最小の数字が1より大きくなることがある。非正規の次数4の魔法定数87の正方形は以下のようになる：
     21 - 24 - 28 - 14
     27 - 15 - 20 - 25
     16 - 30 - 22 - 19
     23 - 18 - 17 - 29

3 x 3 または奇数正方形

1. マジック定数の計算通常のマジック・スクエアのマジック定数(S)を求めるには S = n [ ( n 2 + 1 ) / 2 ] {displaystyle S=n[(n^{2}+1)/2]} {displaystyle S=n[(n^{2}+1)/2]} {displaystyle n}はマジック・スクエアの順番、つまり行の数に等しい。つまり、3×3のマジック・スクエアの場合、式はこうなる：

   • S = 3 [ ( 3 2 + 1 ) / 2 ] {displaystyle 3[(3^{2}+1)/2]} となる。
   • S = 3 [ ( 9 + 1 ) / 2 ] {displaystyle 3[(9+1)/2]}.
   • S = 3 ( 10 / 2 ) {displaystyle 3(10/2)}.
   • S = 3 ( 5 ) {displaystyle 3(5)}.
   • S = 15
   • すべての行、列、対角線の合計は15でなければならない。
   • 通常のマジックスクエアは常に同じマジック定数を持つ。正規の正方形でないものを解く場合は、すべての数字を足し、行数で割って、マジック定数を求める。
2. 一番上の列の中央のマスに1の数字を入れます。奇数列、奇数行の通常のマジックマスでも同じです。一番上の列の中央のマスを探し、1の数字を書き入れます。

   • 例3×3のマジックマスの場合、一番上の列の2番目のマスに1を入れる。
   • 例例：15×15のマジックマスなら、列の8番目のマスに1を入れる。
3. 上1マス、右1マスのパターンで残りの数字をぬりつぶす。一番上の列の真ん中のマスに「1」を入れるところから始め、列を1つ上に、右に1つ移動し、次の数字を順次書き込んでいく。最初のマスのように上の段に移動する場合は、下の段に移動します。マスを右に移動する必要があるが、すでに一番右の列にいる場合は、代わりに一番左の列に移動する。このパターンにしたがって、マスをぬりつぶします。

   • 例通常の3×3マスの場合、2は右下隅に、3は中央列の左の列に入ります。
   • 移動の途中ですでにマスが埋まっている場合は、最後に埋まっていたマスに戻り、その直下に次の数字を置きます。例えば、3×3のマジックマスに4を入れると、3の下の左下に収まります。次に、同じように上1つ、右1つのパターンで、パズルの中央に5を入れて続けます。

4 x 4 または偶数マス

1. 辺が4で割り切れる偶数マスを選びます。次数4の正方形か、4で割り切れる数（8、12、16など）なら、偶数倍正方形です。
2. マジック定数を計算する。S = [ n ( n 2 + 1 ) ] / 2 {displaystyle S=[n(n^{2}+1)]/2} という公式を使用する。つまり、4×4マスの場合、マジック定数の計算は次のようになる：

   • S = [ 4 ( 4 2 + 1 ) ] / 2 {displaystyle [4(4^{2}+1)]/2} となる。
   • S = [ 4 ( 16 + 1 ) ] / 2 {displaystyle [4(16+1)]/2} となる。
   • S = ( 4 ( 17 ) ) / 2 {displaystyle (4(17))/2}.
   • S = 68 / 2 {displaystyle 68/2
   • S = 34
   • すべての行、列、対角線の合計は34でなければならない。
3. マジックスクエアの角にハイライトA～Dを作る。各コーナーに一辺の長さがn / 4 {displaystyle n/4}のミニ正方形を作る。左上から始めて、時計回りにA、B、C、Dのミニ正方形にラベルを貼る。

   • 4×4の正方形では、4つの角のボックスだけをハイライトとしてマークします。
   • 8×8のマジックスクエアの場合、ハイライトはコーナーにある2×2のミニマスになります。
   • 12×12マスの場合、ハイライトは3×3の面積になります。
4. 中央のハイライトを作ります。長さn / 2 {displaystyle n/2}の正方形の領域に、マジック・スクエアの中心にあるすべてのボックスをマークする。中央のハイライトはハイライトA-Dの各1つの角に接するが、全く重ならないようにする。

   • 4×4の正方形では、中央のハイライトは中央の2×2の領域になります。
   • 8×8の正方形では、中央のハイライトは中央の4×4のエリアになります。
5. マジックスクエアのハイライト部分を塗りつぶします。マジックスクエアの左上隅から始めます。左上隅に1を置き、上の列を横切るようにボックスを数えます。ボックスがハイライトされている場合は、その数字で塗りつぶします。ハイライトされた部分がすべて埋まるまで、マジックスクエア全体をぬりつぶします。オーダ4のマジックスクエアでは、ボックスとその番号は次のようになる：

   • 左上のマスに1、右上のマスに4
   • 2行目の2番目と3番目のマスに6と7
   • 3行目の2番目と3番目のマスに10と11
   • 左下のマスに13、右下のマスに16
6. マジックマスの残りを逆算して埋めていく。左上のマスからぬりつぶしますが、すでにぬりつぶしたマスはすべて飛ばします。マジックスクエアの一番大きい数字から数えます。この作業を終えたら、マジックマスは完成です。4x4のマジックスクエアの場合、マスに入れる数字は次の通り：

   • 1行目の2番目と3番目のマスに15と14を入れる。
   • 2行目の一番左のマスに12、一番右のマスに9
   • 3行目の左端のマスに8、右端のマスに5
   • 4行目の2番目と3番目のマスに3個と2個

シングリーイーブンマジックスクエア

1. 正方形の辺が2で割り切れるか、4で割り切れないかをチェックします。偶数マスは、行と列のマスの数が偶数です。マジックスクエアのタテヨコを2で割って奇数になる場合は、偶数マスです。

   • 最小の偶数マスは6×6である。
2. マジック定数を計算します。S = [ n ( n 2 + 1 ) ] / 2 {displaystyle S=[n(n^{2}+1)]/2} という公式を使います。6×6の正方形の場合、式は次のようになる：

   • S = [ 6 ( 6 2 + 1 ) ] / 2 {displaystyle [6(6^{2}+1)]/2} となる。
   • S = [ 6 ( 36 + 1 ) ] / 2 {displaystyle [6(36+1)]/2}.
   • S = ( 6 ( 37 ) ) / 2 {displaystyle (6(37))/2}.
   • S = 222 / 2 {displaystyle 222/2
   • S = 111
   • したがって、6×6マスのマジック定数は111であり、すべての行、列、対角線はこの数になる。
3. マジック・スクエアを同じ大きさの4つの象限に分割する。魔法の正方形の順番を2で割って、四分円の各辺のマスの数を求めます。四分円を区切る線を引き、A（左上）、C（右上）、D（左下）、B（右下）とラベルを貼る。

   • 6×6の正方形の場合、各四分円は3×3の箱になる。
4. 各象限に数字の範囲を割り当てる。1つの象限内のボックスの数を数え、各セクションにいくつの数字があるかを知る。四分円Aに最初の4分の1の数字、四分円Bに2分の1の数字、四分円Cに3分の1の数字、四分円Dに最後の4分の1の数字を割り当てる。こうすることで、どの数字が特定の象限に入るかを、誤って再利用することなく知ることができる。

   • 6×6マスの場合、象限Aには1～9、象限Bには10～18、象限Cには19～27、象限Dには28～36の数字が入る。
5. それぞれの象限を1アップ1ライトのパターンで解く。それぞれの象限で、一番小さい値を一番上の列の中央のボックスに入れる。次の数字を入れるために、1列上に移動し、1列右に移動する。四分円の一番上の列を超えたら、代わりに一番下の列に移動する。一番右の列を超えたら、一番左の列に数字を追加する。次のマスにすでに数字がある場合は、最後の数字の真下に次の数字を入れます。
6. ハイライトAとDを作成します。Aクワドラントでは、一番上の列で中央のマスの左隣にあるマスをすべてマークします。2列目は、1列目を飛ばして、中央のマスとその左にある残りのマスにハイライトを入れます。次に、一番下の列で一番上の列と同じマスをマークし、Aのハイライトを完成させます。次にD象限で同じ作業を繰り返し、Dのハイライトを入れる。

   • 6×6の正方形では、ハイライトA-1は右上のボックス、ハイライトA-2は中央列の中央のボックス、ハイライトA-3はA象限の右下隅となる。
   • 今、列、行、対角線を足し合わせようとすると、まだ同じマジック定数にならないので、正方形はマジックとはみなされない。
7. ハイライトAとDの位置を入れ替えます。片方のマスから数字を取り出し、A象限とD象限の間の対応するマスと入れ替えます。こうすると、6×6マスのすべての行、列、対角線が、計算したマジック定数になります。

   • 例6×6マスの場合、8は35、5は32、4は31と入れ替わる。
8. BとCの右の列を6 x 6より大きいマジックスクエアに入れ替えます。A象限上段のハイライトされた列を数え、1を引きます。BとCの右からその列数を数え、すべてのマスにハイライトを入れる。BとCのマスにCの数字を入れ、マジックマスを完成させます。

   • 10 x 10のマジックスクエアの場合、BとCの一番右の列だけを入れ替えます。
   • 14 x 14のマジックマスの場合、右端の2列を入れ替えます。

この記事は、CC BY-NC-SAで公開されている「 3 Ways to Solve Magic Square Math Puzzles 」を改変して作成しました。特に断りのない限り、CC BY-NC-SAの下で利用可能です。