💪schloodinger equation from Maxwell's equations

💪schloodinger equation,

     appear from Maxwell's equations

                                                                source: Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger, professor miyajima

 

 

    article to confirm

    how to write schloodinger equation.

 

    take long time to write ...

   

    ➀ Euler's formula                  e ^ i θ = cos θ + i sin θ

    ② from Maxwell's equations,

 

            ∇ ×  E =   -           ∂ B /  ∂ t       ... equation ➀

            ∇ ×  B =      ε₀μ₀   ∂ E /  ∂ t       ... equation ②

 

                    E : Electric field - Wikipedia

                    B : Magnetic field - Wikipedia

 

           

           ∇ = ( ∂ / ∂x , ∂ / ∂y, ∂ / ∂z )

           ∇ × ( X,  Y, Z ) 　= ( (∂Z / ∂y - ∂Y / ∂z ) ),  ( ∂X / ∂z - ∂Z / ∂x ) , ( ∂Y / ∂x - ∂X / ∂y ) )

 

           if we multiple ∇                          from left side of equation ➀,

           we can substitute ∇ ×  B           in right side of equation ➀ 

           with                                             ε₀μ₀   ∂ E /  ∂ t   

 

               ∇ × ∇ ×  B =        ∇ × (    ε₀μ₀   ∂ E /  ∂ t )

                                   =         ε₀ μ₀   ∂ ( ∇ × E ) /  ∂ t 

                                   =         ε₀μ₀    ∂ ² B  / ∂ t ² 

 

 <=>        ∇² B           =          ε₀μ₀    ∂ ² B  / ∂ t ²

 

 

           if we multiple ∇                          from left side of equation ②,

           we can substitute ∇ ×  E           in right side of equation ② 

           with                                             ( - ∂ B /  ∂ t )   ...                        

          

               ∇ × ( ∇ ×  E ) =    ∇ × ( -           ∂ B /  ∂ t )

                                       =    -  ∂ ( ∇ × B ) /  ∂ t

                                       =  ε₀μ₀  ∂ ² E  / ∂ t ² 

 

 <=>        ∇² E           =          ε₀μ₀    ∂ ² E  / ∂ t ²

 

          if dimention of left part & right part is different,

          equation wont stands.

 

        dimention of left equation  ( ... differentiate 2 time, with ∇ )   

   =  dimention of right equation ( ... differentiate 2 time, with t ) 

 

          so dimention of  (x, y, z), t

          not change with differentiate,

          but constant value appear from differentiation.

 

           so, we found next equation:

 

           ∇ × ( ∇ ×  E ) = ∇² E =  constant ・ E   

           ∇ × ∇ ×  B     = ∇² B =  constant ・ B  

 

           ( if E, differentiate twice, E appears )

           ( if B, differentiate twice, B appears )

 

 

 

    ③   what is function of E ?

           1⃣  sin i θ

           2⃣ cos i θ 

           3⃣  e ^ i θ

             differentiate twice with θ,

             original function appears.

 

           => satisfy condition of E and B. 

 

    ④     if light wave move to x axis,

         & if light wave vibrate to y axis,

 

            f ( x, y )  = (  v t  ,   e^ i ( kx - ωt )    )

 

            is one of the function,

            that can be solution of Maxwell's equations

 

extra:

 

       how to get 💪schloodinger equation Ψ ?

 

        Ψ = e^ i ( k x - ω t )  = e^ i ( ( p x - Et ) / ħ )

 

            ➀ k  =  2π / λ　 = 2 π p / h = p / ħ

                 => kx  = ( p / ħ ) x

            ② ω =   2π ν =     2 π E / h = E / ħ

                => ω x = ( E / ħ ) x

 

        with

               2 π = k λ                ( 2π                =   Wave number     x  light wavelength )

 

                                               2π               ...    when wave function = sin θ, cos θ,

                                                                         when wave return to original state,   

                                                                         θ = 2π 

                                                                         

 

               p  = h / λ                 ( momentum  =   Planck constant  /  light wavelength )

               E = h ν                   ( energy         =    Planck constant  x light frequency   )

 

 

 

if         Ψ = e^ i ( ( p x - Et ) / ħ ),

 

           ∂ ² Ψ / ∂ x ² = (   p²     ( - 1 / ħ ² ) )  Ψ                     ... 4⃣

           ∂   Ψ / ∂ t    = (   E      ( - i / ħ )    )  Ψ                     ... 5⃣

 

           usually,               E = p ² / 2m                               ... 6⃣

 

           then

           4⃣ & 5⃣ & 6⃣ =>

               ( i ħ )        ∂   Ψ / ∂ t     =   ( ħ² / 2m )      ∂ ² Ψ / ∂ x ²                       ...    💪schloodinger equation